实际问题与一元一次方程的教案
教学目标
知识技能1.会运用一元一次方程解决有关“营销问题”，能根据实际问题中所给数量关系列方程，并熟练掌握一元一次方程的解法.
2.了解售价、进价、利润、利润率、打折等之间关系，并能综合运用，解决实际问题.
方法经历对“销售中的盈亏”等问题的认识分析，进一步培养学生建模思想、培养学生分析问题、解决问题的能力.
情感
态度通过相关应用题计算应用，感受数学在生活中的实用性和重要性，以及对我们决策的指导性，使学生热爱数学、努力学好数学.
重点列一元一次方程解决实际生活中的“营销问题”.
难点根据实际问题中的数量关系列一元一次方程.
【教学环节安排】
环节教学问题设计教学活动设计
情境引入【问题1】
1.“商品销
售”问题中有哪些相关量?它们之间的关系又怎样?
成本价(进价),标价,销售价,实际售价，
利润,盈利,亏损,利润率、打八折，…
2.上面这些量之间有何关系?
总结：(1)归为四种：售价、进价、利润、利润率.
(2)关系：①售价、进价、利润的关系式：
商品利润=商品售价—商品进价
②进价、利润、利润率的关系：
③商品售价、进价、利润率的关系：
(3)售价中的几种说法及关系：标价、折扣数、商品实际售价之间关系:
教师提出问题，学生讨论、并尝试在练习本上写出，组内交流认识，每组出一名同学发表自己的观点，互相补充.
这是第一次系统的分析销售问题中各量(名称)关系，根据学生零散阐述，系统归纳.
学生理解众多名称的意义，以以便于理解题意.
【问题2】根据以上分析完成下列各题：
1.商品原价200元，九折出售，卖价(实际售价)是元.
2.商品进价是30元，售价是50元，则利润是元.
3.某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是 元.
4.某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 元.
5.某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是 .
6.某商品的利润率是12%,进价为50元,则利润是元.
探究1某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
【分析】
(1)两件衣服共卖了多少元?是盈是亏要看这家商店买进这件衣服时花了多少钱?
(2)盈利的那件衣服的进价是多少?
①已知_____和_____求进价，可设进价为x元/件，根据利润率是25%可得利润是________;
②根据利润、进价、售价之间的关系可列方程为_______________________,即可求出进价x.
(3)亏损的那件衣服的进价是多少?
①已知_____和_____求进价，可设进价为y元/件，根据利润率是-25%可得利润是________;
②根据利润、进价、售价之间的关系可列方程为______,即可求出进价y.
(4)因此是否盈亏取决于x+y-1*小.学生独立完成，师生共同核对，理解各名称含义和各量之间的相互关系
提出问题，让学生猜测，是亏损还是盈利，意见会不一致，从而引起学生好奇，调动大家积极性，渴望寻求真正答案.
因为问题中涉及两种商品，所以有两个进价、两个售价(相同)、两个利润率(互为相反数)、两个利润，所以它们之间关系复杂，学生理解能力有限，加之前面没有系统讲解，难度较大.因此要引导学生，通过推理、逐个、逐步理清.不易过于简化.
注意：解答过程中要用到两个关系式子：①利润=售价-进价;②利润=进价×利润率.
所以有一定难度，要注意.
尝试应用2.一商店把某商品按标价的八折出售仍可获得10%的利润.若该商品的进价是每件1600元，问该商品的标价是多少元
变式一：商店对某商品按标价的8折出售，已知它的标价是2200元，打折后的销售利润率是10%，求此商品的进价?
变式二：商店对标价为2200元的某商品打8折出售，已知它的进价为1600元，求此商品打折后的利润率?
变式三：商店对标价为2200元的某商品打折出售，打折后仍可获得10%的利润，已知它的进价为1600元，问此商品是按几折出售的?是由四个题组成，反映了进价、售价、实际售价、折扣、利润率之间的内在联系.学生独立(或分组)完成后教师讲评总结.
成果
展示1.通过本节的学习你学到了哪些知识和方法?
2.你有什么收获?谈谈你对数学认识和看法.学生总结、阐述，交流.发表自己观点，教师评价鼓励、补充总结.
补偿提高1.在我们的身边有一些股民，在每一次的*交易中是或盈利或亏损.某股民将甲、乙两种*卖出,甲种*卖出1500元，盈利20%;乙种*卖出1600元，但亏损20%，该股民在这次交易中是盈利还是亏损?盈利或亏损多少元?
2.平邑县某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为9600元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是______(填亏损或盈利)若是盈利盈利多少?若是亏损多少?变式应用，对比与例题，条件变化时，解法不变.
对比学习，课下自选完成.
作业
设计必做题:
课本第习题3.4
选做题：
课本习题3.4第7题教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
拓展阅读
1、数学教案－可化为一元一次方程的分式方程
1．使学生理解分式方程的意义．
3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．
4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．
5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的.转化思想．
二、教学重点和难点
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因．
启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．
四、教学手段
演示法和同学练习相结合，以练习为主．
(一)复习及引入新课
1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？
答：含有未知数的等式叫做方程．
使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
2．
解：(1)当 时，
左边=，
右边=0，
∴左边=右边，
∴
(2)
(3)
3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式： ， 根据量间的关系列出方程：
这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．
(二)新课
板书课题：
分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．
练习：判断下列各式哪个是分式方程．（投影）
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5)
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．
1、如何求解方程 ？
先由同学讨论如何解这个方程．
在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．如何去掉？方程两边同乘最简公分母.
解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得
90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.
如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．
检验：把x=18代入原方程
,
左边=右边
∴x=18是原方程的解．
2、如何解方程 ?
此题可由学生讨论解决.
解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2
x=1时原方程的解是否正确？
检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解．
讨论：1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？
分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解．
在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解．
在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解．
像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．
注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验．
由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．
对于例题给学生示范做题的格式、步骤. （投影显示步骤格式）
解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得
5(x-2)=7x解这个整式方程，得
x=5．
检验：把x=-5代入最简公分母
x(x-2)=35≠0，
∴x=-5是原方程的解．
解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得
1=x-1-3(x-2)． （ -3这项不要忘乘）
解这个整式方程，得
x=2．
检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，
∴x=2是增根，
∴原方程无解．
注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.
(三)总结
1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
2．解这个整式方程．
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
(四)练习
教材P．98中1由学生在黑板上写，教师订正．
六、作业
教材P．101中1．
七、板书设计
2、数学教案 二元一次方程
2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解,会求二元一次方程的正整数解.
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分.负一场得1分,某队为了争取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?
思考:
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗?
由问题知道,题中包含两个必须同时满足的条件:
胜的场数+负的场数=总场数,
胜场积分+负场积分=总积分.
这两个条件可以用方程
x+y=22
2x+y=40
表示.
上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且未知数的指数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
把两个方程合在一起,写成
2x+y=40
像这样,把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
探究:
满足方程①,且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些?把它们填入表中. x
上表中哪对x、y的值还满足方程②
一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
例1 (1)方程(a+2)x +(b-1)y = 3是二元一次方程,试求a、b的取值范围.
例3 已知下列三对值:
y=-9 y=-6 y=-1
(1)《二元一次方程组》教案n《二元一次方程组》教案n哪几对数值使方程《二元一次方程组》教案nx-y=6的左、右两边的值相等?
(2)哪几对数值是方程组 的解?
课堂练习:
教科书第102页练习
习题8.1
1、2题
作业:
教科书第102页
3、
4、5题
评价与反思
1.概念课教学模式:本节课的主要内容是二元一次方程(组)的有关概念,设计时按照“实例研究,初步体会——比较分析,把握实质——归纳概括,形成定义——应用提高,发展能力”的思路进行,让学生体会到是因为“需要”而学习新知识,逐步渗透应用意识。
2.类比法的运用:二元一次方程及其解的意义类比一元一次方程学习,一方面加深学生对于方程中“元”与“次”的理解,另一方面易于理清一元一次方程与二元一次方程“解”的相关知识的异同,同时为二元一次方程组相关概念扫清障碍。
3.分层递进,循环上升:学生对知识的理解,教师对学生的要求,都是由低到高,逐步提升,题目的设计从单一知识点的直接运用,逐渐到多个知识点的灵活运用,给学生设计必要的台阶,使其一步步向前,最终达到教学目标。
3、数学教案 二元一次方程
知识目标：1。了解二元一次方程的概念。
2．了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性。 能力目标：1。会检验一对数是不是二元一次方程的解。
2．会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
情感目标：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型，同时培养学生探究、创新的精神和合作交流的意识。
教学重点、难点：
重点：二元一次方程的意义和二元一次方程解的概念。 难点：把一个二元一次方程变行成用关于一个未知数的代数式表示为一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。 教学设计：
[创设情境，引入新课] 同学们喜欢体育吗？姚明大家都熟悉吗？（出示NBA全明星集）
（通过篮球明星吸引学生的注意力，加强学生学习、探究的兴趣。） [合作交流，探索新知] 02.25 火箭VS开拓者
在这场比赛中，姚明得了15分，其中罚球得了3分，你知道姚明投中了几个两分球？(本场比赛姚明得分球中没有三分球) 设姚明投进了x 个两分球. 可列出方程______． 02.27 火箭VS骑士
在这场比赛中，姚明得了28分，你知道姚明罚进了几个球，投中了几个两分球吗？(罚进1球得1分,本场比赛姚明得分球中没有三分球) 设姚明罚进 x个球,投中了y个两分 球.可列出方程______ 篮网VS雄鹿
在这场比赛中易建联全场总共得了16分，其中罚球得了1分．你知道他分别投进几个两分球、几个三分球吗？ 设易建联投进x个两分球，y个三分球,可列出方程______ （通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型。） [合作交流，探索新知] 议一议：
x+2y=28
2x+3y=15 观察这两个方程，并思考：这两个方程有哪些共同特征？ ①含有两个未知数；②含有未知数的项的系数次数都是一次。
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。（linear equation in two unknowns）
请同学们判断下列各式是不是二元一次方程
（6）
xy0y
根据方程2x+3y=15，小明说易建联可能投中3个两分球，3个三分球.对吗？为什么？
类比方程解的概念，得出是二元一次方程2x+3y=15的一个解。记 试一试：
你能给一般的二元一次方程的解下一个定义吗？ ※ 二元一次方程的解的定义： x3y3使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 思考：
x31． y7x1
13y3和 是方程 2x+3y=15的解吗？
2．方程2x+3y=15的解有多少个？ 3．对上面投篮的实际问题，方程2x+3y=15的解有几个？ （通过思考使学生了解二元一次方程的解具有不定性和相关性。在实际问题中二元一次方程的解可以是有限个！） [例题讲解，当堂练习] 例1． 已知方程3x+2y=10 （1）用关于 x的代数式表示 y；
（2）求当x=-2，0，3时，对应的y的值，并写出方程的三个解．
分析：在讲解时，可先不讲第（1）小题因为部分同学对“用关于用关于 x的代数式表示 y”不一定理解，所以可以先通过确定x的一些值来让学生通过实际运算熟悉这种变化过程，然后通过“设，那么y的值是多少呢？”这一提问，过度到第（1）题，从而解决用一个字母来表示另一个字母的问题，即用关于 x的代数式表示 y只要把方程3x+2y=10看做未知数是y的一元一次方程。
练习（挑战明星）
姚明：
1、多选题：下列方程中，是二元一次方程的有
xy3①
2 x 3 y
5②
2xx1③ ④
ab1n12．若
mxy
9x
程，则m+n= 易建联：
1、判断题:方程
2x
y
1
5的解是
（
）
2、已知
是方程3x+ay=-1的一个解，求a的值. 科比：1．已知方程2x+3y=2. (1) 用含y的代数式表示x; (2) 根据给出的y值,求出对应的x的值,填入图内; x1y2x7y1[课堂小结]：
1．二元一次方程的概念与二元一次方程的解。 2．对比一元一次方程和二元一次方程的联系与区别。 [作业布置]：必做题：书本作业题
1、
2、
3、4
作业本 选做题：书本作业题
5、6
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